essntial

1. Pole i obwod kola Pole kola P = πr^2 Obwod kola L = 2 πr r -  dlugosc promienia kola 2. Dlugosc luku Luk jest okreslony przez promien okregu r i kat srodkowy α. Dlugosc zaznaczonego luku AB i obwod okregu L pozostaja w takim samym stosunku wzglednie siebie jak kat srodkowy α i kat pelny 360o. AB/L = α/360o Dlugosc luku wycinka kola o promieniu r wycietego przez kat srodkowy o mierze α jest rowna 2πr * α/360o. 3. Pole wycinka kola Kat srodkowy α. Pole tego wycinka kolo P_w i pole kola P pozostaja w takim samym stosunku wzgledem siebie jak kat srodkowy α i kat pelny 360o. P_w/P = α/360o Pole wycinka kola o promieniu r wycietego przez kat srodkowy o mierze α jest rowne πr^2 * α/360o . 4.  W czasach starozytnych zauwazono, ze stosunek dlugosci okregu do dlugosci srednicy jest dla wszystkich okregow ta sama liczba, liczbe te oznaczono grecka litera π. Babilonczycy przyjmowali, ze liczba to jest rowna 3, Egipcjanie (16/9)^2, Archimedes podawal 22/7. W 16...

1. Właściwości funkcji liniowych y = ax + b a -  współczynnik kierunkowy b - wyraz wolny Gdy a> 0 to funkcja jest rosnąca Gdy a<0 to funkcja jest malejąca Gdy a=0 to funkcja jest stała. Jeżeli funkcje liniowe mają takie same współczynniki kierunkowe to ich wykresy są równoległe np. y=-3x+2 y=-3x-7 y=-3x+8 Miejsce zerowe funkcji jest to argument dla którego funkcja przyjmuje wartosć 0. y = -3x+2 -3x+2 = 0 -3x = -2 x = 2/3 - miejsce zerowe sprawdzenie -3 * (2/3) + 2 = -2 + 2 = 0 y = ax + b ax + b = 0 ax = -b / :a gdy a ≠ 0 x_0 = - b/a - wzór na miejsce zerowe Dla jakich argumentów dfunkcja przyjmuje wartości dodatnie? y = -3x + 2 y > 0 -3x + 2 > 0 -3x > -2 x < 2/3 Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne? y = -3x + 2 y < 0 -3x + 2 < 0 -3x < -2 x > 2/3 Cechy funkcji: 1) Miejsce zerowe 2) Wykres 3)Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią x i osią y 4) monotoniczność funkcji 5) D...

I. Podstawowe pojecia gemoetryczne Wzór na sumę kątów wielokąta : (n-2) *180 , n>=3 i n𝜖C Przekątna - jest to odcinek łączący parę niesąsiadujących wierzchołków [n*(n-3)]:2 Punkt , prosta i plaszczyzna to pojecia pierwotne, ktorych nie definiujemy. Kolejna pojecia (polprosta, odcinek) sa definiowalne, czyli mozna dla tych pojec okreslic ich znaczenie. 1. Polprosta Polprosta ma punkt poczatkowy, ale nie ma punktu koncowego Zapis OM -> oznacza polprosta o poczatku w punkcie O przechodzaca przez punkt M. a) Ile polprostych wyznacza punkt O lezacy na prostej ? Punkt O lezacy na prostej wyznacza dwie polproste o poczatku O:  -te , do ktorej nalezy punkt K, oznaczamy OK ->  -te , do ktorej nalezy punkt L, oznaczamy OL -> b) Jaka figura jest czescia wspolna polprostych AB -> i BA -> przedstawionych na rysunku? Czesc wspolna to odcinek AB. c) Jaka figura jest czescia wspolna polprostych AC -> i BC ->? Czesc wspolna to polprosta BC -...

1. Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy znajdujące się na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową (identity matrix) 2. Macierz A możnapomnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy: liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. 3. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A i det.A ≠ 0, to macierz A jest macierzą nieosobliwą . 4. Jeżeli ciąg posiada granice, to taki ciąg nazywamy ciągiem zbieżnym (sequence convergent). 5. Ciąg, w którym stosunek dowolnego wyrazu (oprócz pierwszego) do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym (geometric progression) . 6. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych . 7. Wartość pochodnej funkcji f w punkcie X_0 równa jest współczynnikowi kierunkowemu stycznej w punkcie X_0. ( tangent ) 8. Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem (nieoznaczonym) (antidifferentiation) 9. Pole pod funkcją można o...

1. Zbiory liczb a) Zbior liczb naturalnych : N = {0,1,2,3,4, ,,,} Liczby te zapisujemy za pomoca 10 znakow zwanych cyframi (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0). b) Zbior liczb calkowitych : C = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Liczby natruralne rozne od zera nazywane sa takze liczbami calkowitymi dodatnimi, np. 1,2,3, liczby do nich przeciwne sa liczbami calkowitymi ujemnymi , np. -1,-2,-3, . Zbior liczb calkowitych tworza zatem liczby calkowite ujemne i liczby naturalne. Zero nie jest ani liczba dodatnia anji liczba ujemna. c) Zbior liczb wymiernych : W = { ...; -2347; -51/9;0;15,3 ...} Kazda liczbe , ktora mozna przedstawic w postaci ulamka zwyklego p/q, gdzie p ε C d) Zbior liczb niewymiernych : IW = { ... (2)^1/2; 4 -(7)61/2 ....} e) Zbior liczb rzeczywistych : R = { ...; -567; -44 2/3 ;0; 3,11; (23)^1/3, ...} Wszystkie liczby wymierne i niewymierne lacznie nazywamy liczbami rzeczywistymi. 2. Dzialania na liczbach a) dodwananie a + b = c a, b - skladnik c - s...

Pierwostkowanie nie jest działaniem odwrotnym do potęgowania a>0 (a)^1/2 = b ⇔def (b^2=a i b>=0) Pierwiastek trzeciego stopnia a>=0 (a)-1/3 = b ⇔ b > = 0, b^3 = a np (8)^-1/3 = 2 (1)^-1/3 = 1 (0)^-1/3 = 0

Potęgowanie a^b a-podstawa potęgi b-wykładnik wykładniki naturalne wykładniki całkowite 13^1 = 13 7^0 = 1 0^8 = 0 Prawa działania na potęgach a^b * a^c = a^ (b+c) [(a)^b]^c = a^(b*c) y : x = y * 1/x y:x= y * x^-1 a^n * b^n = (a*b)^n a^n : b^n = (a:b)^n Zapis liczb za pomocą potęg liczby 10 a* 10^m , 1=<a<10 . //zapis wykładniczy