1. Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy znajdujące się na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową (identity matrix)
2. Macierz A możnapomnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy:
liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
3. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A i det.A ≠ 0, to macierz A jest macierzą nieosobliwą.
4. Jeżeli ciąg posiada granice, to taki ciąg nazywamy ciągiem zbieżnym (sequence convergent).
5. Ciąg, w którym stosunek dowolnego wyrazu (oprócz pierwszego) do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym (geometric progression).
6. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
7. Wartość pochodnej funkcji f w punkcie X_0 równa jest współczynnikowi kierunkowemu stycznej w punkcie X_0. (tangent)
8. Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem (nieoznaczonym) (antidifferentiation)
9. Pole pod funkcją można obliczyć za pomocą całki oznaczonej (definite integral).
10. A sequence, where the different of any two succesive terms is constant, is called arithmetical progression.
Ciąg w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała nazywamy ciągiem artmetycznym.
11. A sequence, where the ratio of any two succesive terms is the same number q ≠ 0 is called geometric progression.
Ciąg w którym stosunek dwóch kolejnych wyrazów jest stały q ≠ 0 nazywamy ciagiem geometrycznym.
12. An even function is symetric to y-axis.
Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi y.
13. The value f'(x_0) is the slope of the tangent to the curve y = f(x) at the point x_0.
Wartość f'(x_0) jest kątem nachylenia stycznej do funkcji y=f(x) w punkcie x_0.
Zad 1. Find df/dx if f(x) = 4x^2 + 7x + 5.
Odp. f'(x) = 8x +7.
df/dx = derivative = pochodna
14. The area under the graph of f(x) can be found by a definite integral.
Pole pod funkcję można obliczyć za pomocą całki oznaczonej.
Zad 2. Find equlibrum point of the firm, having total cost and total revenue functions given TC(X) = 1/3 x^3 - 6x^2 + 22x + 18, TR(X) = 1/2 x^2 + 22x.
Znajdź punkt równowagi dla firmy, której całkowite koszta i całkowity obrót są wyrażone wzorami TC(X) = 1/3 x^3 - 6x^2 + 22x +18, TR(X) = 1/2x^2 + 22x
max π
x, p
π = TR - TC
TR = p*x
p(0,08) = 0,5 * 0,08 +22 = 0,04 + 22 = 22,04
π = 1/3 x^3 - 6x^2 + 22x +18 -1/2x^2 - 22x = 1/3 x^3 - 6,5x^2 +18
π' = x^2 -13x
0 = x^2 - 13x
Δ = 169 - 4*1 = 165
(Δ)^1/2 = 12,84
x_1 = (13-12,84)/2 = 0,16/2 = 0,08
x_2 = (13+12,84)/2 = 12,92
p = TR/x -> (0,5x^2 + 22x)x = 0,5x + 22
π'' = x -13
π''(0,08) = - 12,84 < 0 -> f''(x)<0_max, f''(x) >0_min
π''(12,92) = 12,84
Zad 3. The firm has evaluated the increase of the total profit at the rate of 25%. If the total profit in first year is 1. What will be the total profit of the firm after 3 years? Write a sequence showing us total profit during the first 4 years.
Firma rotuje 25% wzrost zysków rocznie. Jeżeli całkowity zysk w pierwszym roku wynosi 1, jaki będzie całkowity zysk po 3 latach? Napisz wzór na ciąg pokazujący zysk z pierwszych 4 lat.
a_1 = 1 q=1,25 a_n = 1*(1,25)^(n-1)
a_2 = a_1 * q = 1*1,25 = 1,25
a_3 = a_1 * q^2 = 1*(1,25)^2 = 1,5625
a_4 = a_1 * q^4 = 1*(1,25)^3 = 1,953125
S_3 = 3,8125
2. Macierz A możnapomnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy:
liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
3. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A i det.A ≠ 0, to macierz A jest macierzą nieosobliwą.
4. Jeżeli ciąg posiada granice, to taki ciąg nazywamy ciągiem zbieżnym (sequence convergent).
5. Ciąg, w którym stosunek dowolnego wyrazu (oprócz pierwszego) do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym (geometric progression).
6. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
7. Wartość pochodnej funkcji f w punkcie X_0 równa jest współczynnikowi kierunkowemu stycznej w punkcie X_0. (tangent)
8. Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem (nieoznaczonym) (antidifferentiation)
9. Pole pod funkcją można obliczyć za pomocą całki oznaczonej (definite integral).
10. A sequence, where the different of any two succesive terms is constant, is called arithmetical progression.
Ciąg w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała nazywamy ciągiem artmetycznym.
11. A sequence, where the ratio of any two succesive terms is the same number q ≠ 0 is called geometric progression.
Ciąg w którym stosunek dwóch kolejnych wyrazów jest stały q ≠ 0 nazywamy ciagiem geometrycznym.
12. An even function is symetric to y-axis.
Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi y.
13. The value f'(x_0) is the slope of the tangent to the curve y = f(x) at the point x_0.
Wartość f'(x_0) jest kątem nachylenia stycznej do funkcji y=f(x) w punkcie x_0.
Zad 1. Find df/dx if f(x) = 4x^2 + 7x + 5.
Odp. f'(x) = 8x +7.
df/dx = derivative = pochodna
14. The area under the graph of f(x) can be found by a definite integral.
Pole pod funkcję można obliczyć za pomocą całki oznaczonej.
Zad 2. Find equlibrum point of the firm, having total cost and total revenue functions given TC(X) = 1/3 x^3 - 6x^2 + 22x + 18, TR(X) = 1/2 x^2 + 22x.
Znajdź punkt równowagi dla firmy, której całkowite koszta i całkowity obrót są wyrażone wzorami TC(X) = 1/3 x^3 - 6x^2 + 22x +18, TR(X) = 1/2x^2 + 22x
max π
x, p
π = TR - TC
TR = p*x
p(0,08) = 0,5 * 0,08 +22 = 0,04 + 22 = 22,04
π = 1/3 x^3 - 6x^2 + 22x +18 -1/2x^2 - 22x = 1/3 x^3 - 6,5x^2 +18
π' = x^2 -13x
0 = x^2 - 13x
Δ = 169 - 4*1 = 165
(Δ)^1/2 = 12,84
x_1 = (13-12,84)/2 = 0,16/2 = 0,08
x_2 = (13+12,84)/2 = 12,92
p = TR/x -> (0,5x^2 + 22x)x = 0,5x + 22
π'' = x -13
π''(0,08) = - 12,84 < 0 -> f''(x)<0_max, f''(x) >0_min
π''(12,92) = 12,84
Zad 3. The firm has evaluated the increase of the total profit at the rate of 25%. If the total profit in first year is 1. What will be the total profit of the firm after 3 years? Write a sequence showing us total profit during the first 4 years.
Firma rotuje 25% wzrost zysków rocznie. Jeżeli całkowity zysk w pierwszym roku wynosi 1, jaki będzie całkowity zysk po 3 latach? Napisz wzór na ciąg pokazujący zysk z pierwszych 4 lat.
a_1 = 1 q=1,25 a_n = 1*(1,25)^(n-1)
a_2 = a_1 * q = 1*1,25 = 1,25
a_3 = a_1 * q^2 = 1*(1,25)^2 = 1,5625
a_4 = a_1 * q^4 = 1*(1,25)^3 = 1,953125
S_3 = 3,8125
Komentarze
Prześlij komentarz