I. Podstawowe pojecia gemoetryczne
Wzór na sumę kątów wielokąta : (n-2) *180 , n>=3 i n𝜖C
Przekątna - jest to odcinek łączący parę niesąsiadujących wierzchołków [n*(n-3)]:2
Punkt , prosta i plaszczyzna to pojecia pierwotne, ktorych nie definiujemy. Kolejna pojecia (polprosta, odcinek) sa definiowalne, czyli mozna dla tych pojec okreslic ich znaczenie.
1. Polprosta
Polprosta ma punkt poczatkowy, ale nie ma punktu koncowego
Zapis OM -> oznacza polprosta o poczatku w punkcie O przechodzaca przez punkt M.
a) Ile polprostych wyznacza punkt O lezacy na prostej ?
Punkt O lezacy na prostej wyznacza dwie polproste o poczatku O:
-te , do ktorej nalezy punkt K, oznaczamy OK ->
-te , do ktorej nalezy punkt L, oznaczamy OL ->
b) Jaka figura jest czescia wspolna polprostych AB -> i BA -> przedstawionych na rysunku?
Czesc wspolna to odcinek AB.
c) Jaka figura jest czescia wspolna polprostych AC -> i BC ->?
Czesc wspolna to polprosta BC ->
2. Prosta
3. Odcinek
Odcinek ma punkt poczatkowy i punkt koncowy.
Ocinkiem o koncach A i B nazywamy zbior punktow prostej AB, do ktorego naleza punkty oraz wszystkie punkty lezace miedzy nimi.
Odcinek. o koncach A i B oznaczamy AB. Odcinki mozemy tez oznaczac malymi literami, np. a, b, c
Zapis |AB| oznacza dlugosc AB.
O odcinkach AB i CD, ktore maja rowne dlugosci, mowimy, ze sa p[rzystajace. Zapisujemy to w nastepujacy sposob A≡CD.
a) Figury skladajace sie z 4 odcinkow polaczonych w ten sposob, ze koniec pierwszego odcinka jest poczatkiem drugiego, koniec drugiego odcinka jest poczatkiem trzeciego.
lamana zwyczajna otwarta
lamana zwyczajna zamknieta
lamiana wiazana otwarta
lamana wiazana zamknieta
b) dwie polproste o wspolnym poczatku O. Na ile czesci zostala podzielona plaszczyzna?
Dwie polproste o wspolnym poczatku O dziela plaszczyzne na dwa obszary . Kazda w dwoch czesci plaszczyzny zawarta miedzy dwiema polprostymi o wspolnym poczatku , lacznie zx tymi polprostymi, nazywanym katem.
4. Figury
Figury wypukle - figury, w ktorych kazdy odcinek laczacy dwa dowolne punkty tej figury jest zawarty w tej figurze.
Figury niewypukle - figury, w ktorych mozna wskazac taki odcinek, ktorego konce naleza do figury, ale odcinek nie zawiera sie calkowicie w figurze.
5. Katy
Katy wklesle - kazdy z nich ma wicej niz 180o i mniej niz 360. 180<α<360
katy wypukle - kazdy z nich ma wiecej niz 0 i mniej niz 180 . 0<α<180
kat ostry 0<α<900
kat prosty α=90
kat rozwarty 90<α<180
kat zerowy α=0
kat polpelny α=180
kat pelny α=360
katy wierzchalkowe α=β
katy przylegle α+β = 180
katy odpowiedadajace k||l α=β
katy naprzemianlegle wewnetrzne k||l α=β
katy naprzemianlegle zewnetrzne k||l α=β
II. Koło i okrąg
1. Czym się różnią okrąg i koło?
Linia to okrąg O(O, r)
Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O wynosi r.
Koło K (O,r)
Kołem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.
2. Wzajemne położenie prostej i okręgu
a) Prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia.
b) Prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia.
k-styczna
c) Prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem. Odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia.
k - sieczna
3. Położenie dwóch okręgów względem siebie
a) Rozłączne (brak punktów wspólnych)
-okręgi wzajemnie zewnętrzne
-jeden okrąg leży wewnątrz drugiego
b) Styczne (jeden punkt wspólny - punkt styczności)
-okręgi styczne zewnętrznie
-okręgi styczne wewnętrzne
c) Przecinające się (dwa punkty wspólne)
4. Wielokąt wpisany w okrąg i wielokąt opisany na okręgu
a) wielokąt wpisany w okrąg - każdy wierzchołek leży na okręgu
b) wielokąt opisany na okręgu - każdy bok jest styczny na okręgu
5. W okręgu o kole można zaznaczyć
-Promień - pdcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu O, a drugi koniec leży na okręgu.
-Cięciwa - odcinek, którego oba końce leżą na okręgu.
-Średnica - cięciwa przechodząca przez środek okręgu O.
-Łuk - część okręgu zawarta między dwoma różnymi punktami okręgu wraz z tymi punktami.
6. Liczba 𝜋 i długość okręgu.
𝜋 ~ 3,14
Iloraz długość okręgu i średnicy jest taki sam dla każdego koła.
l - długość okręgu
2r - średnica okręgu
l/2r = const
Ten iloraz jest liczbą, niewymierną oznaczoną grecką literą 𝜋
l = 2𝜋r
7. Pole koła
P = 𝜋r^2
8. Pole wycinka koła i długości łuku
Kąt środkowy wycina z koła pewną jego część i nazywamy ją wynikiem koła. Ten sam kąt środkowy wycina z okręgu pewną jego część i nazywa się łukiem.
a) Łuk
ł = (𝛼/360)* 2 𝜋 r
Należy kąt 𝛼 podzielić przez 360, a to wszystko pomnożyc przez długość okręgu.
c) Wycinek
P_w = (𝛼/360)*𝜋r^2
Należy kąt 𝛼 podzielić przez 360, a to wszystko pomnożyć przez P okręgu.
9. Środek okręgu nie należy do okręgu, środek koła należy do koła.
10. Kąt miedzy styczna do okręgu a promieniem wychodzącym z punktu styczności jest prosty.
11. Kąty w kole
a) kąt środkowy - to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła.
b) kąt wpisany - to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.
12. Czworokąt można wpisać w okrąg, jeżeli sumy przeciwległy kątów są sobie równe i wynoszą 180o
α+β = γ+δ
13. Czworokąt można opisać na okręgu, jeżeli sumy przeciwległych boków są sobie równe
a+c = b+d
14. Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego
β = 2 α
15. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.
16. Cięciwa i wycinek koła
Cięciwa - dzieli koła na dwie części . Każdą z tych części nazywamy odcinkiem koła.
Wycinek koła - jest częścią powierzchni koła ograniczoną łukiem i dwom a promieniami.
Wzór na sumę kątów wielokąta : (n-2) *180 , n>=3 i n𝜖C
Przekątna - jest to odcinek łączący parę niesąsiadujących wierzchołków [n*(n-3)]:2
Punkt , prosta i plaszczyzna to pojecia pierwotne, ktorych nie definiujemy. Kolejna pojecia (polprosta, odcinek) sa definiowalne, czyli mozna dla tych pojec okreslic ich znaczenie.
1. Polprosta
Polprosta ma punkt poczatkowy, ale nie ma punktu koncowego
Zapis OM -> oznacza polprosta o poczatku w punkcie O przechodzaca przez punkt M.
a) Ile polprostych wyznacza punkt O lezacy na prostej ?
Punkt O lezacy na prostej wyznacza dwie polproste o poczatku O:
-te , do ktorej nalezy punkt K, oznaczamy OK ->
-te , do ktorej nalezy punkt L, oznaczamy OL ->
b) Jaka figura jest czescia wspolna polprostych AB -> i BA -> przedstawionych na rysunku?
Czesc wspolna to odcinek AB.
c) Jaka figura jest czescia wspolna polprostych AC -> i BC ->?
Czesc wspolna to polprosta BC ->
2. Prosta
3. Odcinek
Odcinek ma punkt poczatkowy i punkt koncowy.
Ocinkiem o koncach A i B nazywamy zbior punktow prostej AB, do ktorego naleza punkty oraz wszystkie punkty lezace miedzy nimi.
Odcinek. o koncach A i B oznaczamy AB. Odcinki mozemy tez oznaczac malymi literami, np. a, b, c
Zapis |AB| oznacza dlugosc AB.
O odcinkach AB i CD, ktore maja rowne dlugosci, mowimy, ze sa p[rzystajace. Zapisujemy to w nastepujacy sposob A≡CD.
a) Figury skladajace sie z 4 odcinkow polaczonych w ten sposob, ze koniec pierwszego odcinka jest poczatkiem drugiego, koniec drugiego odcinka jest poczatkiem trzeciego.
lamana zwyczajna otwarta
lamana zwyczajna zamknieta
lamiana wiazana otwarta
lamana wiazana zamknieta
b) dwie polproste o wspolnym poczatku O. Na ile czesci zostala podzielona plaszczyzna?
Dwie polproste o wspolnym poczatku O dziela plaszczyzne na dwa obszary . Kazda w dwoch czesci plaszczyzny zawarta miedzy dwiema polprostymi o wspolnym poczatku , lacznie zx tymi polprostymi, nazywanym katem.
4. Figury
Figury wypukle - figury, w ktorych kazdy odcinek laczacy dwa dowolne punkty tej figury jest zawarty w tej figurze.
Figury niewypukle - figury, w ktorych mozna wskazac taki odcinek, ktorego konce naleza do figury, ale odcinek nie zawiera sie calkowicie w figurze.
5. Katy
Katy wklesle - kazdy z nich ma wicej niz 180o i mniej niz 360. 180<α<360
katy wypukle - kazdy z nich ma wiecej niz 0 i mniej niz 180 . 0<α<180
kat ostry 0<α<900
kat prosty α=90
kat rozwarty 90<α<180
kat zerowy α=0
kat polpelny α=180
kat pelny α=360
katy wierzchalkowe α=β
katy przylegle α+β = 180
katy odpowiedadajace k||l α=β
katy naprzemianlegle wewnetrzne k||l α=β
katy naprzemianlegle zewnetrzne k||l α=β
II. Koło i okrąg
1. Czym się różnią okrąg i koło?
Linia to okrąg O(O, r)
Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O wynosi r.
Koło K (O,r)
Kołem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.
2. Wzajemne położenie prostej i okręgu
a) Prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia.
b) Prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia.
k-styczna
c) Prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem. Odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia.
k - sieczna
3. Położenie dwóch okręgów względem siebie
a) Rozłączne (brak punktów wspólnych)
-okręgi wzajemnie zewnętrzne
-jeden okrąg leży wewnątrz drugiego
b) Styczne (jeden punkt wspólny - punkt styczności)
-okręgi styczne zewnętrznie
-okręgi styczne wewnętrzne
c) Przecinające się (dwa punkty wspólne)
4. Wielokąt wpisany w okrąg i wielokąt opisany na okręgu
a) wielokąt wpisany w okrąg - każdy wierzchołek leży na okręgu
b) wielokąt opisany na okręgu - każdy bok jest styczny na okręgu
5. W okręgu o kole można zaznaczyć
-Promień - pdcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu O, a drugi koniec leży na okręgu.
-Cięciwa - odcinek, którego oba końce leżą na okręgu.
-Średnica - cięciwa przechodząca przez środek okręgu O.
-Łuk - część okręgu zawarta między dwoma różnymi punktami okręgu wraz z tymi punktami.
6. Liczba 𝜋 i długość okręgu.
𝜋 ~ 3,14
Iloraz długość okręgu i średnicy jest taki sam dla każdego koła.
l - długość okręgu
2r - średnica okręgu
l/2r = const
Ten iloraz jest liczbą, niewymierną oznaczoną grecką literą 𝜋
l = 2𝜋r
7. Pole koła
P = 𝜋r^2
8. Pole wycinka koła i długości łuku
Kąt środkowy wycina z koła pewną jego część i nazywamy ją wynikiem koła. Ten sam kąt środkowy wycina z okręgu pewną jego część i nazywa się łukiem.
a) Łuk
ł = (𝛼/360)* 2 𝜋 r
Należy kąt 𝛼 podzielić przez 360, a to wszystko pomnożyc przez długość okręgu.
c) Wycinek
P_w = (𝛼/360)*𝜋r^2
Należy kąt 𝛼 podzielić przez 360, a to wszystko pomnożyć przez P okręgu.
9. Środek okręgu nie należy do okręgu, środek koła należy do koła.
10. Kąt miedzy styczna do okręgu a promieniem wychodzącym z punktu styczności jest prosty.
11. Kąty w kole
a) kąt środkowy - to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła.
b) kąt wpisany - to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.
12. Czworokąt można wpisać w okrąg, jeżeli sumy przeciwległy kątów są sobie równe i wynoszą 180o
α+β = γ+δ
13. Czworokąt można opisać na okręgu, jeżeli sumy przeciwległych boków są sobie równe
a+c = b+d
14. Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego
β = 2 α
15. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.
16. Cięciwa i wycinek koła
Cięciwa - dzieli koła na dwie części . Każdą z tych części nazywamy odcinkiem koła.
Wycinek koła - jest częścią powierzchni koła ograniczoną łukiem i dwom a promieniami.
Komentarze
Prześlij komentarz