Przestrzeń probabilistyczna
-zdarzenie
-prawdopodobieństwo
Zmeienna losowa
-dystrybucja
-rozkład
Łańcuchy stochastyczne
-procesy Markowa - brak pamięci
Zmienne losowe wielowymiarowe
Twierdzenia graniczne
Literartura:
1. Plucińscy
2. P. Billigsley "Prawdopodobieństwo i miara"
3. Feller "Podstawy rachunku prawdopodobieństwa" tom 1(2)
3. Stojanow "Zbiór adań z rachunku prawdopodobieństwa"
Rzeczywistość (obiekty, zjawiska, procesy) ->
Abstrakcyjne (Konstrukcje matematyczna) ->
Modele matematyczna -> analiza modelu -> rzeczywsite zastosowanie
1. Ciała i σ-ciała zbiorów
Ω - dowolny biór niepusty.
Niech 2^Ω oznacza potęgowy zbioru Ω to znaczy zbior wszystkich podzbiorów zbioru Ω.
Przykład:
Ω = {1,2,3}
2^Ω = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Ω = ∅ *2^Ω = {∅}
Ω = {∅}
2^Ω = {∅, {0}}
A^c = Ω\A -> dopełnienie
Fakt:
|Ω| = n => |2^Ω| = 2^n
Ω - zbiór
2^Ω - zbiór podzbiorów
Def. Ciałem zbiorów nazywamy dowolną rodzinę F ⊂ 2^Ω spełniające warunki
1) ∅ ∈ F
2) ∀A⊂Ω: A∈ F => A^C ∈ F zamkniętym ze względu na dopełnienie
3) ∀ A, B ∈ Ω: A⊂F ∩ B⊂F => A⋃B ∈ F - zamknięty ze względu na sumę zbioru
F = {∅, {1}, {2,3}, {1,2,3}}
1^o
2^o
∅^c = {1,2,3}
{1,2,3}^c = ∅
{1}^c = {2,3}
{2,3}^c = {1}
3^o
∅⋃A =A
{1} ⋃ {2,3}
{1} ⋃ {1,2,3} ={1,2,3}
P2)
F = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
{1,3}^c = {2} ∉ F
P3)
Ω = N
F = {A⊂N : A skończony ⋎ A^c skończony }
∅ - zbiór skóończony, zatem ∅ ∉ F
2) A ∉ F
1^o A jest skończony (A^c)^c = A jest skońcone => A^c ∉ F
2^o A^c jest skończone A^c ∉ F
3) A, B ∉ F
1^o A, B są skończone => A ⋃ B skończony => A ⋃ B ∉ F
2^o A^c jest skończone lub B^c jest skończony
(A ⋃ B)^c = A^c ∩ B^c ⊂ A^c ⊂ B^c => (A ⋃ B)^c skończony => A ⋃ B ∉ F
P4)
Ω - dowolny zbior nie pusty
F = {∅, Ω } ⊂ 2^Ω => najmniejsze ciała
P5)
Ω - dowoln y zbiór niepusty => największe ciała
F = 2^Ω
P6)
Ω = R
F = {(a_1, b_1] ⋃ (a_2, b_2] ⋃ ... ⋃ (a_n, b_n]; n =0,1,2, ...
-∞ =< a_1 <b_1 <a_2 <b_2 < ... < a_n < b_n =< + ∞
1^o ∅ ∉ F
2^o
Przestrzeń probablistyczna (kołmogorowa)
(Ω, F_Ω, ρ)
Ω - zbiór zdarzeń elementarnych
F_Ω - ρ ciało, ρ-algebra
ρ - miara probabilistyczna
Miary probabilistyczne (ρ-addytywne)
ρ: F -> [0,1] - miary probabilistyczne
u: F -> [0, +∞) - ρ-addytywne
u ([3,8]) = 8-3 = 5
-ρ-addytywność
{A_i ∈ F_Ω i∈ I}, A_i ∩ A_j = ∅ i≠j
I przeliczany
I =< Z
P(⋃_(i ∈ I) A_i) = ∑_(i ∈ I) P(A_i)
-ρ skoczoność ∀_({A_j}⊂ F) P(U_i A_i) =< 1
-P(A) => 0, ∀_A ∈ F_Ω
-P(∅) = 0
-P(Ω) = 1 prawdopodbieństwo zdarzenia pewnego = 1
-P(A^c) = 1 - P(A)
-A ⊆ B => P(A) =< P(B)
- P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Ciało (F_Ω)
Z - zbiór niepusty
Przez ciało rozumiemy taką rodzinę podzbiorów Ω, że:
a) ∅ ∈ F_Ω
b) A ∈ F_Ω => Ω\A ∈ F_Ω
c) "σ" {A_i, i ∈ I} ⊂ F_Ω => U_(i ∈ I) A_i ∈ F_Ω
Konkretne rozdziały prawdopodobieństwa
A) Kombinacje (kolejność bez znaczenia)
A.1.k. bez powtórzeń - każdy podzbiór zbioru Ω
(n) n!
C_n^k = = ________
(k) k!(n-k)!
A.2.k. z powtórzeniami - każdy "multizbiór"
(k+n-1) (k+n-1)!
C_n^k = = _________
(k) k!(n-1)!
b) Wariacje (kolejność ma znaczenie)
B.1.W. bez powtórzeń - każdy ciąg utworzony z elementów zbioru Ω
k n! k k
V = ______ , k! C = V
n (n-k)! n n
B.2.W z powtórzeniami - każdy ciąg utworzony z elemntów Ω, takich, że dowolny element może w nim wystąpić, więcej niż raz
_ k
V = n^k
n
c) permutacje - wzajemnie, jednoznaczne przekształcanie zbioru na siebie (bijekcja)
=
Zbiór permutacji S(Ω), S_n , n = Ω , π(Ω) liczba permutacji dla zbioru n-elementowego
P_n = n!
Rozkład dwumianowy (Ber...)
Wykonujemy n prób losowych (dychotomiczne), w każdej możliwe są tylko 2 rezultaty
p - prawdopodobieństwo sukcesu, podczas jednej próby
P(K) -p-stwo osiągnięcia k-krotnego sukcesu w n próbach (k=< n)
(n)
P(k) = p^k (1-p) ^(n-k)
(k)
zad 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że podczas 3 rzutów monet uzyskamy orła
a) 3 razy
b) 2 razy
c) 1 raz
d) 0 razy
a) p^3 = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
b)
(3) (1)^2 (1)^2
* * = 3! / (2! (3-2)!) * 1/4 * 1/2 -3 *1/3 = 3/8
(2) (2) (2)
c)
(3) (1)^2 (1)^2
* * = 3 *1/2 *1/4 = 3/8
(2) (2) (2)
d) (1-p)^3 =1/8
Zad 2 Co jest b. prawdopodobne wyrzucenie 2 orłów w 4 próbach czy 3 orłów w 6 próbach?
(4) (1)^2 (4)
P(k)= (1-1/2)^2 = 1/4*1/4 = 3/8
(2) (2) (2)
3/8>5/16
Zad 3 W pudełku jest 5 kul białych i 7 czarnych. Wyciągamy dwie kula.
a) p-stwo , że obie albo białe / czarne
5/12 * 4/11 + 7/12 * 6/11
b) obie tego samego koloru
p(b,b v cz, cz) = p(b,b) + p(cz, cz)
5/12 * 4/11 + 7/12 * 6/11 62/132
c) różne kolory
5/12 * 7/11 + 7/12 * 5/11 = 70/132
Zad 4 W urnie są 4 kule białe i 2 czarne . Losujemy 1 i bez sprawdzania koloru wkładasmy do urny z 3 białymi i 5 czarnymi.
Obliczyć p-stwo, że kula wylosowana z 2 urny jest czarna.
P-stwo warunkowe
(przypadek dyskretny)
A, B ∈ F_Ω
P(B) >0
Zakładamy, że zaszło (P(B)≠0)
P_B(A) = (PA|B) = P(A⋂B)/P(B)
P(A⋂B)=P(A\B)P(B)
Ω = {1,2,3,4,5,6}=6
F_Ω
Komentarze
Prześlij komentarz