I Równania
-zmienną występującą w równaniu nazywamy niewiadmoą.
-często o liczbie będącej rozwiązaniem równania mówi się, że spełnia ona to równanie.
-równanie może mieć jedno rozwiązanie lub kilka, może być zbiorem pustym lub nieskończonym.
-Równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same zbiory rozwiązań.
-Stosowanie zasad przekształcania gwarantuje, że kolejne postacie równania są równoważne. Przekształcenia te nazywamy przekształceniami tożsamościowymi.
-Przenoszac jednomian z jednej strony równania na drugą, zmieniasz nak tego jednomianu na przeciwny.
1. Co to jest równanie?
Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedna zawiera zmienną, połączone ze sobą symbolem =.
2. Co to znaczy, że liczba jest rozwiązaniem równania?
Jeżeli tę liczbę podstawimy do równania w miejsce niewiadomej , to równanie zmienia się w równość. Na przykład: liczba 4 spełnia równanie 2x + 4 = 4(x - 1)
3. Jak rozwiązać równanie?
Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań danego równania.
Na przykład:
Równanie 3x -1 = 5 ma jedno rozwiązanie: x = 2
Równanie x^2 = 4 ma dwa rozwiązania x_1 =2, x_2 = -2
Równanie x^2 = -9 nie ma rozwiązania.
Równanie 2(x - 0,5) = 2x - 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
4. Zasady przekształcania równań
W każdym równaniu można:
- Zmienić strony równania miejscami:
5 = 2x -3
2x - 3 = 5
-Do obu stron równania dodać (odjąć) pewną, tę samą liczbę (wyrażenia algebraiczne):
2x-3 = 5 | +3
2x-3 + 3 = 5 + 3
2x = 8
-Obie strony równania pomnożyć (podzielić) przez pewną liczbę różną od zera:
2x = 8|:2
x = 4
Przykład:
otot równanie: 2(x+2) - 4(x+1) = 6(1-x)
Krok 1: Po obu stronach równania wykonujesz występujące tam działania.
2x + 4 - 4x -4 = 6 - 6x
Krok 2: Jednomiany zawierające niewiadomą przednosimy na jedną stronę równania, a jeednomiany będące liczbami na drugą stronę
2x -4x + 6x = 6 - 4 + 4
Krok 3: Po obu stronach równania przeprowadzasz redukcję wyrazów podobnych.
4x = 6
Krok4: Obie strony równania dzielisz przez współczynnik przy niewiadomej
4x = 6 |:4
x = 1,5
5. Jak sprawdzić, czy wynik jest prawidłowy?
Jeżeli równanie jest rozwiązane prawidłowo, to po wstawieniu rozwiązania do równania wyjściowego obie strony równania będą miały tę samą wartosć. Na przykład dla równania 2(x+2) -4(x+1) = 6(1-x) uzyskano rozwiązanie x = 1,5.
Sprawdzenie
(lewa storna) L= 2*(1,5 +2) -4(1,5 +1) = 2*3,5-4*2,5 = 7-10 = -3
(prawa strona) P = 6(1-1,5) = -3
(porównanie) L=P
II Nierówności
Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienną, połączone jednym z symboli >, <, >=.
1. Jakie są zasady rozwiązywania nierówności?
Nierówność rozwiązujemy tak samo jak równania, trzeba tylko pamiętać o znaku oraz o tym, że przy mnożeniu lub dzieleniu stron nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić zwrot nierówności
Przykład:
2x+ 1 - (x-3)/2 > 3x - 2 |*2
-3x > -9
x < 3
Rozwiązywanie równań liniowych z dwiema niewiadomymi
równanie liniowe pierwszego stopnia - to takie które w któ®ych niewiadome występują w pierwszej potędze.
np.
2x + y = 4
x -y = 3x + 2y -1
x+y =0
Szukając rozwiązania równania z diwema niewiadomymi szukamy pary liczb.
x+y = 0
y = -x
x ∈ R nieskończenie wiele par liczb
y = - x
np
x = 2, y = -2
x = 0, y = 0
x = 4, y = -4
-zmienną występującą w równaniu nazywamy niewiadmoą.
-często o liczbie będącej rozwiązaniem równania mówi się, że spełnia ona to równanie.
-równanie może mieć jedno rozwiązanie lub kilka, może być zbiorem pustym lub nieskończonym.
-Równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same zbiory rozwiązań.
-Stosowanie zasad przekształcania gwarantuje, że kolejne postacie równania są równoważne. Przekształcenia te nazywamy przekształceniami tożsamościowymi.
-Przenoszac jednomian z jednej strony równania na drugą, zmieniasz nak tego jednomianu na przeciwny.
1. Co to jest równanie?
Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedna zawiera zmienną, połączone ze sobą symbolem =.
2. Co to znaczy, że liczba jest rozwiązaniem równania?
Jeżeli tę liczbę podstawimy do równania w miejsce niewiadomej , to równanie zmienia się w równość. Na przykład: liczba 4 spełnia równanie 2x + 4 = 4(x - 1)
3. Jak rozwiązać równanie?
Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań danego równania.
Na przykład:
Równanie 3x -1 = 5 ma jedno rozwiązanie: x = 2
Równanie x^2 = 4 ma dwa rozwiązania x_1 =2, x_2 = -2
Równanie x^2 = -9 nie ma rozwiązania.
Równanie 2(x - 0,5) = 2x - 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
4. Zasady przekształcania równań
W każdym równaniu można:
- Zmienić strony równania miejscami:
5 = 2x -3
2x - 3 = 5
-Do obu stron równania dodać (odjąć) pewną, tę samą liczbę (wyrażenia algebraiczne):
2x-3 = 5 | +3
2x-3 + 3 = 5 + 3
2x = 8
-Obie strony równania pomnożyć (podzielić) przez pewną liczbę różną od zera:
2x = 8|:2
x = 4
Przykład:
otot równanie: 2(x+2) - 4(x+1) = 6(1-x)
Krok 1: Po obu stronach równania wykonujesz występujące tam działania.
2x + 4 - 4x -4 = 6 - 6x
Krok 2: Jednomiany zawierające niewiadomą przednosimy na jedną stronę równania, a jeednomiany będące liczbami na drugą stronę
2x -4x + 6x = 6 - 4 + 4
Krok 3: Po obu stronach równania przeprowadzasz redukcję wyrazów podobnych.
4x = 6
Krok4: Obie strony równania dzielisz przez współczynnik przy niewiadomej
4x = 6 |:4
x = 1,5
5. Jak sprawdzić, czy wynik jest prawidłowy?
Jeżeli równanie jest rozwiązane prawidłowo, to po wstawieniu rozwiązania do równania wyjściowego obie strony równania będą miały tę samą wartosć. Na przykład dla równania 2(x+2) -4(x+1) = 6(1-x) uzyskano rozwiązanie x = 1,5.
Sprawdzenie
(lewa storna) L= 2*(1,5 +2) -4(1,5 +1) = 2*3,5-4*2,5 = 7-10 = -3
(prawa strona) P = 6(1-1,5) = -3
(porównanie) L=P
II Nierówności
Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienną, połączone jednym z symboli >, <, >=.
1. Jakie są zasady rozwiązywania nierówności?
Nierówność rozwiązujemy tak samo jak równania, trzeba tylko pamiętać o znaku oraz o tym, że przy mnożeniu lub dzieleniu stron nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić zwrot nierówności
Przykład:
2x+ 1 - (x-3)/2 > 3x - 2 |*2
-3x > -9
x < 3
Rozwiązywanie równań liniowych z dwiema niewiadomymi
równanie liniowe pierwszego stopnia - to takie które w któ®ych niewiadome występują w pierwszej potędze.
np.
2x + y = 4
x -y = 3x + 2y -1
x+y =0
Szukając rozwiązania równania z diwema niewiadomymi szukamy pary liczb.
x+y = 0
y = -x
x ∈ R nieskończenie wiele par liczb
y = - x
np
x = 2, y = -2
x = 0, y = 0
x = 4, y = -4
Komentarze
Prześlij komentarz